Explicación del tema 17
Análisis de circuitos eléctricos
Tema 17. Características de las funciones senoidales

Una senoide es una señal que tiene la forma de la función seno o coseno

Se denomina corriente alterna a la corriente eléctrica en la que la magnitud y dirección varían periódicamente. La forma de onda de la corriente alterna más comúnmente utilizada es la de una onda senoidal, puesto que se consigue una transmisión más eficiente de la energía. Sin embargo, en ciertas aplicaciones se utilizan otras formas de onda periódicas, tales como la triangular o la cuadrada.

¿Por qué nos interesan las funciones senoidales?

  • Por su naturaleza, la  podemos encontrar de manera simple en fenómenos ondulatorios como el sonido,  luz, energía, electromagnetismo, entre otros.
  • Es fácil de generar y de transmitir, porque usando transformadores podemos cambiar el nivel de voltaje o corriente disminuyendo las perdidas en la transmisión por efectos resistivos en los cables.
  • Cualquier señal periódica puede representarse como una suma de senoides mediante la serie de Fourier, la herramienta matemática básica para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples, formada por la como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras.
  • Es “Fácil” de manejar matemáticamente, porque al trabajar con funciones trigonométricas como el seno o coseno podemos aplicar las identidades matemáticas y simplificar el análisis matemático.

Características de la función Senoidal

Considere el voltaje senoidal

Donde

  • Vm es la amplitud en voltios o amperios (también llamado valor máximo o de pico),
  • ω la velocidad angular en radianes/segundo,
  • t el tiempo en segundos, y
  • θ el ángulo de fase inicial en grados

La función seno se repite cada T segundos; así, T se llama el periodo de la función seno.

El hecho de que  se repita cada T segundos se muestra al reemplazar t por  t+ T en la ecuación de la función senoidal, donde θ=0. Obtenemos

De esta manera,

es decir,  tiene el mismo valor en t + T que en t, y se dice que v(t) es periódica.

Una función periódica es aquella que satisface f (t) = f (t + nT), para toda t y para todos los enteros n.

El periodo T de la función periódica es el tiempo de un ciclo completo o el número de segundos por ciclo. El recíproco de esta cantidad es el número de ciclos por segundo, conocido como frecuencia cíclica f. Así,


De las ecuaciones anteriores,


 está en radianes por segundo (rad/s) y está en hertz (Hz).

Por ejemplo, la función en rosa tiene ω=1rad/seg  y la color negro es ω=5rad/seg  por lo que implica que es 5 veces mas rápida y en un mismo ciclo de la función en rosa obtenemos 5 ciclos.

Ejemplo:

Para las formas de onda en la figura, el periodo incluye 5 divisiones en 0.2 ms/división. El desplazamiento de fase entre las formas de onda (independientemente de cuál se encuentre adelantada o retrasada) es de 2 divisiones.

e adelanta a i por 144°

La amplitud

Dado que el periodo completo representa un ciclo de 360°, el periodo de i y e es igual, un ciclo abarca 4 divisiones.  El periodo es, por tanto,

La frecuencia 


Identidades importantes

En los cursos de matemáticas aprendimos algunas sustituciones de las funciones trigonométricas, Algunas identidades que pueden ser útiles y que debes tener presente en la simplificación matemática de los problemas son:

Representación fasorial

Las funciones trigonométricas pueden ser representadas por un vector que gira sobre una circunferencia de radio unitario, y pueden definirse con base en un triángulo rectángulo.

Si (x, y) es un punto en el círculo unitario y q es el ángulo con el cual se llega al punto, medido respecto del eje x positivo en sentido contrario a las manecillas del reloj, como se muestra en la figura.

Girará con una velocidad angular ω.

Su módulo r será el valor máximo del voltaje.

Fasores

Un fasor es un número complejo que representa en amplitud y fase una senoide.

Los fasores proporcionan un medio simple para analizar los circuitos lineales con fuentes senoidales; en otro caso, las soluciones de tales circuitos serían imposibles de resolver.

Un número complejo z puede escribirse en forma rectangular como

Donde ; x es la parte real de z; y es la parte imaginaria de z.

El número complejo z también puede escribirse en forma polar o exponencial como:




Donde r es la magnitud de z y es la fase de z.

Es posible relacionar la forma rectangular y polar. Dados x y y es posible obtener r y como

Si conocemos r y es posible obtener x y y como


Así

Por ejemplo para Z=2+5j

En la forma polar:

En la forma exponencial:

Operaciones con números complejos

La suma y la resta de números complejos son más sencillas de hacer en la forma rectangular; las multiplicaciones y divisiones se hacen mejor en forma polar.

Dados los números complejos
   y

Suma:

Por ejemplo para Z1=2+5j y Z2=3+6j    ZT=5+11j

Resta:

Por ejemplo para Z1=2+5j y Z2=3+6j    ZT=5-1j

Multiplicación:

Por ejemplo para Z1=2∠45° y Z2=5∠60°    ZT=10∠105°

División:

Por ejemplo para Z1=5∠45° y Z2=2∠60°    ZT=2.5∠-15°

Inverso:

Por ejemplo para Z1=5∠45°     ZT=0.2∠-45°

Raíz cuadrada:

Por ejemplo para Z1=9∠40°     ZT=3∠20°

Conjugado de un número complejo:

Por ejemplo para Z1=2+5j    Z*=2-5j

Recuerde que:

Representación fasorial de voltajes y corrientes senoidales

La idea de representación fasorial está basada en la identidad de Euler. En general,

Que muestra que se considera al cos 𝝓 y sen 𝝓, respectivamente, como las partes reales e imaginarias de ; podremos expresar lo anterior como


Donde Re e Im simbolizan la parte real e imaginaria.

Podemos expresar v(t) como

O

Así

Donde

V es así la representación fasorial de la función seno v(t).

Un fasor es una representación compleja de la magnitud y de la  fase de una senoide.

Los fasores    e   se representan gráficamente. Semejante representación gráfica de fasores se conoce como diagrama fasorial.

Transformación senoide-fasor

Glosario

  • Amplitud: Valor pico de una onda. En ondas simétricas es el valor de la mitad del valor  pico-pico
  • Angulo de fase: Es la diferencia de fase entre dos ondas senoidales, usualmente debido a que en el circuito existen capacitores (condensadores) o inductores (bobinas)
  • Cambio de Fase: Alteración que produce un elemento reactivo en la fase de la tensión o la corriente
  • Desplazamiento: Pequeña desviación de una salida del valor teórico esperado, debido al no acoplamiento adecuado entre los componentes internos
  • Fase: Posición de una forma de onda con respecto a otra de la misma frecuencia, expresado en grados. 360° representa un ciclo completo.
  • Forma de onda: Forma de una señal eléctrica
  • Forma de onda senoidal: Una forma de onda de tensión o corriente que tiene la siguiente expresión matemática:  Vp = Vsen(wt)
D.R. © Universidad TecMilenio.

Imprimir Imprimir