Explicación del tema 1
Matemáticas II
Tema 1. Producto Cartesiano

Una de las aplicaciones más comunes del plano cartesiano es para representar de manera gráfica las diferentes ecuaciones que se nos dan en los cursos de matemáticas, también es muy utilizado en la resolución de problemas de física en los cuales se debe esquematizar cómo está afectando una fuerza a un objeto en el plano cartesiano.

El producto cartesiano es el resultado de multiplicar dos conjuntos y de todos los pares ordenados que se obtienen se pueden definir relaciones, las cuales tienen una condición que las hace únicas.

Las funciones son relaciones que cumplen con la condición de que a cada valor de “x” le corresponde solo un valor de “y”.

1.1 Plano Cartesiano

El plano cartesiano está compuesto por dos ejes, uno horizontal (x) y uno vertical (y). La unión de estos dos ejes es llamado “origen”.Como podemos observar, la momento de unir estos dos ejes, se forman 4 áreas en el plano cartesiano, cada una de ellas es llamada cuadrante y se numeran en sentido contrario a las manecilla del reloj,  con números romanos.

En la siguiente gráfica observarás los elementos del plano cartesiano:

¿Dónde se utiliza el plano cartesiano? Existen muchas aplicaciones en la vida, en las cuales está  el plano cartesiano. ¿Has visto alguna vez un plano de cualquier ciudad? ¿Has jugado ataque submarino? ¿Cómo se realiza un dibujo a escala? En todos ellos está aplicado el plano cartesiano.

¿Qué se representa en el plano cartesiano?

En el plano vamos a representar los pares ordenados o puntos, los cuales están constituidos por un valor de “x” y un valor de “y”, siendo la nomenclatura (o forma como se escribe) de la siguiente manera (x,y).

En la siguiente imagen podrás observar que al moverse sobre el eje de las “x” hacia la derecha del origen los valores son “POSITIVOS”, si se mueve a la izquierda del origen sobre el eje de las “x” los valores son “NEGATIVOS”; al moverse sobre el eje de las “y” hacia arriba del origen los valores son “POSITIVOS”, si se mueve sobre el eje de las “y” hacia abajo del origen los valores son “NEGATIVOS”.

A continuación verás algunos ejemplos de cómo representar en el plano cartesiano los siguientes puntos:

Identificador (x,y)
A (3,4)
B (-1,2)
C (-5,-3)
D (1,-1)
F (0,3)
G (-5,0)

1.2 Producto Cartesiano

El producto cartesiano es el resultado de la multiplicación de dos conjuntos, lo cual se denota como AxB, donde A y B son conjuntos, veamos unos ejemplos: 

Ejemplo 1

Pasos Procedimiento
Realizar el producto cartesiano Cada elemento del conjunto A, será el elemento “x” de los pares ordenados combinándolos con cada elemento del conjunto B, los cuales serán los elementos “y”.
Resultado

Ejemplo 2
Pasos Procedimiento
Realizar el producto cartesiano Cada elemento del conjunto B, será el elemento “x” de los pares ordenados combinándolos con cada elemento del conjunto A, los cuales serán los elementos “y”.
Resultado

¿Cuál es la diferencia entre las dos operaciones? Observa los pares ordenados, ¿cuál es el cambio significativo entre las dos operaciones?

Los cambios significativos es que  el orden de las coordenadas, en la primera operación  son distintas, los elementos del conjunto A son los valores de “x” de los pares ordenados y los valores de “y” son los elementos del conjunto B, observemos el primer par ordenado del resultado el cual es: En la segunda operación  los elementos del conjunto B son los valores de “x” de los pares ordenados y los valores de “y” son los elementos del conjunto A, observemos el primer par ordenado del resultado el cual es:

Explicación de la realización del producto cartesiano: Los elementos del primer conjunto que estén en la operación del producto cartesiano serán los valores de “x” de los pares ordenados resultantes y los elementos del segundo conjunto en la operación del producto cartesiano serán los valores de “y” de los pares ordenados resultantes.

En las siguientes imágenes se representan en el plano cartesiano cado uno de productos cartesianos que acabamos de realizar:

Ejemplo 3

Representa en un mismo plano cartesiano los siguientes productos cartesianos:

Procedimiento
Realizar los siguientes productos cartesianos:
Resultados

1.3 Relaciones

Las relaciones en el área matemática, son el resultado de un producto cartesiano que cumple con una condición. Las relaciones se identifican con la siguiente nomenclatura

Algunas de las relaciones que se pueden obtener del producto cartesiano  son:

La nomenclatura de las relaciones es , esto se lee de la siguiente manera R la relación son todos los pares ordenados (a,b) tal que ( | ) cumplen con la condición descrita.

Ejemplo 1

Determinar las siguientes relaciones del producto cartesiano  

Pasos Procedimiento

1) Realizar el producto cartesiano

Cada elemento del conjunto B, será el elemento “x” de los pares ordenados combinándolos con cada elemento del conjunto A, los cuales serán los elementos “y”.

2) Determinar las relaciones

Para determinar las relaciones, debes observar las condiciones y TODOS los pares ordenados que cumplan con la condición serán parte de la relación:  


Ejemplo 2

Determinar las siguientes relaciones del producto cartesiano

Pasos Procedimiento
1) Realizar el producto cartesiano

Cada elemento del conjunto B, será el elemento “x” de los pares ordenados combinándolos con cada elemento del conjunto A, los cuales serán los elementos “y”.

2) Determinar las relaciones

Para determinar las relaciones, debes observar que las condiciones y TODOS los pares ordenados que cumplan con la condición serán parte de la relación.

1.4 Funciones

Una función tiene una característica muy importante. Se define como la relación de correspondencia cuando a cada valor de “x” le corresponde solo un valor de “y”.

La función se define matemáticamente como la cual se lee  “función de x” o simplemente “f de x”.

Podemos entonces tener varios escenarios de funciones:

Escenario 1

De acuerdo a la definición de función determinemos si los siguientes pares ordenados representan funciones:

La definición dice “una función es aquella en la que a cada valor de x le corresponde solo un valor de y”.

Resolución de los incisos:

Inciso a representa una función, ya que en los pares ordenados a cada valor de x le corresponde un solo valor de y.

Inciso b representa una función, ya que en los pares ordenados a cada valor de x le corresponde un solo valor de y.

Inciso c representa una función, ya que en los pares ordenados a cada valor de x le corresponde un solo valor de y.

Inciso d no representa a una función, ya que existen dos pares ordenados que hacen que la definición de función no se cumpla. Los pares ordenados son: . Como podemos observar el valor de x (que es 0) tiene dos valores de y los cuales son 2  y -4.

Inciso e no representa a una función, ya que existen dos pares ordenados que hacen que la definición de función no se cumpla. Los pares ordenados son: Como podemos observar el valor de x (que es -1) tiene dos valores de y los cuales son 0  y 3.

Escenario 2

Ahora revisemos algunas relaciones, las cuales proceden como ya vimos, de productos cartesianos que cumplen con una condición.

Determinar si las relaciones son funciones:

 representa una función, ya que en los pares ordenados a cada valor de x le corresponde un solo valor de y.  Aunque el valor de y sea el mismo.

no representa a una función, ya que existen dos pares ordenados que hacen que la definición de función no se cumpla. Los pares ordenados son:  . Como podemos observar el valor de x (que es -2) tiene dos valores de y los cuales son -3  y 1.

 representa una función, ya que en los pares ordenados a cada valor de x le corresponde un solo valor de y. Existe un par ordenado repetido, pero es el mismo valor.

no representa a una función, ya que existen dos pares ordenados que hacen que la definición de función no se cumpla. Los pares ordenados son:  . Como podemos observar el valor de x (que es 3) tiene dos valores de y los cuales son -2  y -1

 no representa a una función, ya que existen cuatro pares ordenados que hacen que la definición de función no se cumpla. Los pares ordenados son: Como puedes observar el valor de x (que es 1) tiene dos valores de y los cuales son -1  y -4.
Y el valor de x  tiene dos valores de y que son   y 

Escenario 3

¿Cómo se determina si una ecuación es una función? Anteriormente se mencionó que una ecuación es una igualdad, para esto se utiliza la definición matemática de función . Por lo tanto a continuación verás si las siguientes ecuaciones son o no funciones:

Resolviendo las ecuaciones:

Para poder saber si la ecuación es una función se utilizará un método que se conoce como tabulación, lo cual es darle valores a “x”  y/o "y", tendrá su valor. Es decir, obtendremos el valor de y (f(x)) al darle valores a x.

Ejemplos

Determinar si las siguientes ecuaciones son o no funciones:

Pasos Procedimiento

1) Sustituir valores de “x” para obtener valores de

Inciso a:

Para el primer par ordenado el valor de x es -2, si se sustituye en la ecuación se obtendrá lo siguiente: Esto es porque x toma el valor de -2 y al sustituirlo resulta 3*(-2), lo que da como resultado -6.

Para el segundo par ordenado el valor de x es 0, si se sustituye en la ecuación , se obtendrá lo siguiente: Esto es porque x toma el valor de 0 y al sustituirlo se obtiene 3*(0), lo que da como resultado 0.

Para el tercer par ordenado el valor de x es 4, si se sustituye en la ecuación , se obtendrá lo siguiente: Esto es porque x toma el valor de 4 y al sustituirlo se obtiene 3*(4) lo que da como resultado 12.

Estos resultados que acabamos de obtener se pueden representar en un tabla donde pongas el valor de x y el valor de y, como sigue:

Resultado

Como se observa en los pares ordenados, esta ecuación es una función, ya que para cada valor de x solo existe un solo valor de y.

Pasos Procedimiento
1) Sustituir valores de “x” para obtener valores de

Inciso a:

Para el primer par ordenado el valor de x es -2, si se sustituye en la ecuación se obtendrá lo siguiente: . Esto es por que x toma el valor de -2 y al sustituirlo se obtiene -2+3, lo que da como resultado 1.

Para el segundo par ordenado el valor de x es 2, si se sustituye en la ecuación , se obtendrá lo siguiente: Esto es por que x toma el valor de 2 y al sustituirlo se obtiene 2+3, lo que da como resultado 5.

Para el tercer par ordenado el valor de x es 5, si se sustituye en la ecuación, se obtendrá lo siguiente: Esto es por que x toma el valor de 5 y al sustituirlo se obtiene 5+3, lo que da como resultado 8.

Vovemos a hacer nuestra tabla con los resultados que obtuvimos de x y de y, como sigue:

Resultado

Como se observa en los pares ordenados, esta ecuación es una función, ya que para cada valor de x solo existe un solo valor de y.
Pasos Procedimiento
1) Sustituir valores de “x” para obtener valores de

Inciso c:

Para el primer par ordenado el valor de x es -3, si se sustituye en la ecuación , se obtendrá lo siguiente: Esto es por que x toma el valor de -3 y al sustituirlo se obtiene -3 elevado al cuadrado, lo que da como resultado 9.

Para el primer par ordenado el valor de x es 0, si se sustituye en la ecuación , se obtendrá lo siguiente: Esto es por que x toma el valor de 0 y al sustituirlo se obtiene 0 elevado al cuadrado, lo que da como resultado 0.

Nuestra tabla de valores quedaría como sigue:

Resultado

Pero ¿Por qué solo dos valores de x? porque aunque se le asignen más valores a la x, para f de x siempre habrá solo un valor de y. Como se puede  observar en los pares ordenados, esta ecuación es una función, ya que para cada valor de x solo existe un solo valor de y.

Pasos Procedimiento

1) Sustituir valores de “x” para obtener valores de

Inciso d:

Para el primer par ordenado el valor de x es 4, si se sustituye en la ecuación, se obtendrá lo siguiente: Esto es por que x toma el valor de 4 y al sustituirlo se obtiene más menos la raíz cuadrada de 4, lo que da como resultado más menos 2.

Para el segundo par ordenado el valor de x es 9, si se sustituye en la ecuación , se obtendrá lo siguiente: Esto es por que x toma el valor de 9 y al sustituirlo se obtiene más menos la raíz cuadrada de 9, lo que da como resultado más menos 3.

Nuestra tabulación quedaría entonces así:

Resultado

Como se observa en los pares ordenados, esta ecuación NO es una función, ya que para un solo valor de “x” tenemos dos valores diferentes de (los cuales son 2 y -2), lo mismo pasa con el valor de “x” igual a 9, se tienen dos valores de los cuales son 3 y -3.

Como se observa, todas estas ecuaciones se definen con  igual a algo, se puede definir que por lo tanto en adelante se intercambiará por y.

Escenario 4

A continuación se determinará si las siguientes gráficas representan funciones

Para poder determinar si las gráficas representan una función,  es tan simple como dibujar una línea vertical en cualquier parte de la gráfica, si la línea toca solo un punto de la gráfica, entonces la gráfica SI representa una función, si la línea vertical toca a  la gráfica en dos o más puntos, entonces la gráfica NO representa una función.

Así que aplica la prueba de la línea vertical a cada una de las gráficas:

En esta gráfica se han trazado 4 líneas verticales y como se puede observar cada línea solo toca a la gráfica en un solo punto, por lo tanto la gráfica representa una función.

En esta gráfica se han trazado 3 líneas verticales y como se puede observar cada línea solo toca la gráfica en un solo punto, por lo tanto la gráfica representa una función.

En esta gráfica se han trazado 3 líneas verticales y como se puede observar cada línea  toca a la gráfica en dos  puntos, por lo tanto la gráfica NO representa una función.

En esta gráfica se han trazado 2 líneas verticales y como se puede observar cada línea solo toca a la gráfica en un solo punto, por lo tanto la gráfica representa una función.

En esta gráfica se han trazado 3 líneas verticales y como se puede observar cada línea  toca a la gráfica en dos puntos, por lo tanto la gráfica NO representa una función.

D.R. © Universidad TecMilenio.

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